Persamaan Diferensial

PEMBAHASAN

2.1 PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR
2.1.1 Bentuk Umum Persamaan Diferensial Linear
Suatu persamaan diferensial linear ( dengan x adalah peubah bebas dan y adalah peubah tak bebas ) adalah salah satu bentuk dari persamaan :
Jadi persamaan diferensial linear adalah persamaan yang mengandung turunan tingkat satu yaitu turunan dengan satu peubah bebas.
2.1.2 Kriteria Persamaan Diferensial Linear
Adapun kriteria – kriteria persamaan diferensial linear antara lain :
(I)                Tidak terdapat fungsi transeden ( trigonometri , logaritma dan eksponen )  dalam peubah tak bebas ( y )
(II)             Tidak terdapat perkalian antara peubah tak bebas (y) dengan turunanya.
(III)          Peubah tak  bebas ( y ) dan turunanya paling tinggi berpangkat satu
Sebagai contoh, perhatikan persamaan diferensial berikut :
a.              ( tidak linear, karena terdapat pangkat 2 dari y )
b.                ( tidak linear, karena terdapat fungsi transeden cot t )
c.                      ( tidak linear, karena terdapat perkalian dan  )
d.                ( tidak linear, karena terdapat pangkat 2 pada y )
e.               ( linear, memenuhi kriteria )
f.            ( linear, memenuhi kriteria  )
g. e.         ( linear, memenuhi kriteria. Walau mempunyai fungsi eksponen, akan tetapi fungsi eksponennya terdapat dalam peubah bebas )
h.     ( linear, memenuhi kriteria. Walau mempunyai fungsi eksponen, akan tetapi fungsi eksponennya terdapat dalam peubah bebas )
2.2 PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE SATU
2.2.1 Bentuk Umum Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
Suatu persamaan linear orde satu adalah suatu persamaan yang berbentuk :
…………………………….( 1)
Dimana koefisien – koefisien dari   dan  fungsi adalah fungsi – fungsi yang kontinu pada susatu selang I dan bahwa koefisien untuk semua x dalam I.
Jika kedua ruas  persamaan ( 1 ) dibagi dengan , dimana :
dan  maka diperoleh :
Jadi persamaan linear orde satu juga dapat berbentuk :
…………………………………. (2)
2.2.2 Teorema Persamaan Diferensial Linear Orde Satu

Teorema :

Jika dan  adalah fungsi – fungsi  kontinu pada selang I, maka penyelesaian umum persamaan diferensial :
akan berbentuk :
2.2.3 Penyelesaian Persamaan Diferensial  Linear  Orde  Satu

a. Penyelesaian umum
Penyelesaian umum persamaan diferensial linear orde satu ( ) dapat dicari secara eksplisit dengan memperhatikan peubahan peubah   memetakan persamaan   kedalam persamaan diferensial terpisah. Dengan mengingat bahwa  maka :

Catatan :
Dari penyelesaian diatas dapat disimpulkan bahwa penyelesaian persamaan diferensial linear orde satu dapat melalui tiga langkah. Adapun  langkah – langkahnya antara lain :
Langkah 1 : Mengalikan kedua ruas persamaan   oleh , sehingga diperoleh :
…………………………( 3 )
Langkah 2 : Mengintegralkan kedua ruas persamaan ( 3 ), sehingga diperoleh :
………………………(4)
Langkah 3 : Membagi kedua ruas persmaan ( 4 ) oleh , sehingga dihasilkan :
à merupakan penyelesain umum persamaan diferensial linear orde satu.
b. Cara Bernaulli
Misalkan
u,v masing – masing fungsi dari x.
Maka persamaan menjadi :
Syarat ambil  atau …… (5)
Maka :  atau Sehingga,
Persamaan ( 5 ) menjadi :
2.2.4 Contoh Penyelesaian Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
Soal :
1. Tentukan apakah persamaan diferensial berikut termasuk persamaan diferensial linear orde satu ?
a.
b.
c.
d.
e.
2. Tentukan solusi persamaan diferensial linear orde satu berikut ini :
a.
b.
Penyelesaian :
1.         a. persamaan diferensial linear orde satu
b. persamaan diferensial linear orde satu
c. bukan persamaan diferensial linear orde satu
d. bukan persamaan diferensial linear orde satu
e. persamaan diferensial linear orde satu
2. a. , dari persamaan diperoleh = -1, sehingga . Solusi umum  persamaan diferensial tersebut adalah :
b. , dari persamaan diperoleh = 3, sehingga . Solusi    umum persamaan diferensial tersebut adalah :
2.3 MASALAH NILAI AWAL PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE SATU
Sebelumnya telah dibahas bagaimana menyelesaikan persamaan diferensial linear orde satu. Sekarang akan diberikan teorema penting masalah nilai awal persamaan diferensial linear orde satu.
Teorema :
Jika fungsi a(x) dan b(x) kontinu pada interval yang mengandung maka ada fungsi tunggal y(x) yang memenuhi persamaan diferensial pada interval tersebut, dan juga memenuhi syarat awal  dengan  adalah suatu nilai awal yang telah ditentukan.
Contoh :
Tentukan solusi masalah nilai awal :
Penyelesaian :
Dari persamaan diperoleh a = 2.
Substitusikan x = 0 dan y = 3 ke , diperoleh c =2
Jadi solusi masalah nilai awal tersebut : .
SOAL LATIHAN :

1. Tentukan apakah persamaan diferensial berikut termasuk persamaan diferensial linear orde satu ?
a.
b.
2. Tentukan solusi persamaan diferensial linear orde satu berikut ini :
a.
b.
3. Tentukan solusi masalah nilai awal berikut :  dengan  ?



Sumber: http://noprianikurniati.wordpress.com/makalah-persamaan-diferensial/